8. Дано: \(ABCD\) — параллелограмм; \(E\) и \(F\) — середины сторон \(BC\) и \(AD\) соответственно. Прямые \(AE\) и \(BD\) пересекаются в \(M\), прямые \(FC\) и \(BD\) — в \(N\). Доказать: \(BM=MN=ND\).

Рассмотрим параллелограмм в аффинных координатах: \(A=(0,0)\), \(B=(1,0)\), \(D=(0,1)\), \(C=(1,1)\). Тогда середины \(E\) и \(F\) имеют координаты \(E=(1, frac12)\) и \(F=(0, frac12)\).

Диагональ \(BD\) задаётся точками вида \((1-t,t)\). Для пересечения с \(AE\) получаем \(t= frac13\), значит \(BM= frac13BD\).

Для пересечения с \(FC\) получаем \(t= frac23\), значит \(BN= frac23BD\). Следовательно, \(MN=BN-BM= frac13BD\), а \(ND=BD-BN= frac13BD\).

Итак, \(BM=MN=ND\), что и требовалось доказать.