7. Диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом 60°и равна 12 см. Найдите площадь основания цилиндра.

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника равна 12 см и образует с основанием угол 60°.

В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, высотой цилиндра и диаметром основания, диагональ является гипотенузой.

Дано:

• Диагональ осевого сечения \( d_{о.с.} = 12 \) см
• Угол наклона к основанию \( \alpha = 60^{\circ} \)

Найти:

• Площадь основания \( S_{осн} \)

Найдем диаметр основания \( d \) и высоту \( h \) через тригонометрические функции:

\[ d = d_{о.с.} \cos(\alpha) = 12 \text{ см} \cdot \cos(60^{\circ}) = 12 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см} \]\[ h = d_{о.с.} \sin(\alpha) = 12 \text{ см} \cdot \sin(60^{\circ}) = 12 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \text{ см} \]

Радиус основания \( R \) равен половине диаметра:

\[ R = \frac{d}{2} = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см} \]

Площадь основания цилиндра находится по формуле \( S_{осн} = \pi R^2 \):

\[ S_{осн} = \pi (3 \text{ см})^2 = 9 \pi \text{ см}^2 \]

Ответ: \( 9 \pi \) см².