9. Высота цилиндра равна 8 см, а радиус основания 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равна 3 см

Решение:

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра (\( h \)), а другая — хорде основания, проведённой через точку на расстоянии 3 см от центра. Расстояние от центра до хорды равно 3 см.

Дано:

• \( h = 8 \) см
• \( R = 5 \) см
• Расстояние от оси до плоскости сечения \( d = 3 \) см

Найти:

• Площадь сечения

Найдем длину хорды основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания \( R \), расстоянием от центра до хорды \( d \) и половиной хорды \( \frac{a}{2} \). По теореме Пифагора:

\[ R^2 = d^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]\[ 5^2 = 3^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]\[ 25 = 9 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]\[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 25 - 9 \]\[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 16 \]\[ \frac{a}{2} = \sqrt{16} \]\[ \frac{a}{2} = 4 \]

Длина хорды \( a = 2 \cdot 4 \text{ см} = 8 \) см.

Стороны прямоугольника сечения — это высота цилиндра \( h \) и длина хорды \( a \).

Площадь сечения \( S_{сек} \) равна:

\[ S_{сек} = a \cdot h = 8 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 64 \text{ см}^2 \]

Ответ: \( 64 \) см².