8. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 20 см, а угол между этой диагональю и образующей цилиндра 30°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника равна 20 см.

Дано:

• Диагональ осевого сечения \( d_{о.с.} = 20 \) см
• Угол между диагональю и образующей \( \beta = 30^{\circ} \)

Найти:

• Площадь полной поверхности \( S_{полн} \)

В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, высотой цилиндра (образующей) и диаметром основания, угол между диагональю и образующей равен 30°.

Найдем высоту \( h \) и диаметр основания \( d \) через тригонометрические функции:

\[ h = d_{о.с.} \cos(\beta) = 20 \text{ см} \cdot \cos(30^{\circ}) = 20 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10 \sqrt{3} \text{ см} \]\[ d = d_{о.с.} \sin(\beta) = 20 \text{ см} \cdot \sin(30^{\circ}) = 20 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 10 \text{ см} \]

Радиус основания \( R \) равен половине диаметра:

\[ R = \frac{d}{2} = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см} \]

Площадь полной поверхности цилиндра находится по формуле \( S_{полн} = 2 \pi R (R + h) \):

\[ S_{полн} = 2 \pi \cdot 5 \text{ см} (5 \text{ см} + 10 \sqrt{3} \text{ см}) = 10 \pi \text{ см} (5 + 10 \sqrt{3}) \text{ см} = 50 \pi (1 + 2 \sqrt{3}) \text{ см}^2 \]

Ответ: \( 50 \pi (1 + 2 \sqrt{3}) \) см².