7) На рисунке AA₁ = 8, ∠CAA₁ = 60°, BC = 12, BC ⟂ AC, A₁B = x.

В прямоугольном треугольнике AA₁C гипотенуза \(AC=\dfrac{AA_1}{\cos60°}=16\). Тогда \(A_1C=\sqrt{AC^2-AA_1^2}=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt{3}\).

Так как BC перпендикулярен AC, а AA₁ перпендикулярен плоскости, получаем прямой угол между BC и A₁C. В прямоугольном треугольнике BA₁C:

\(x^2=BC^2+A_1C^2=12^2+(8\sqrt{3})^2=336\), поэтому \(x=4\sqrt{21}\).

Ответ: \(x=4\sqrt{21}\).