7. На рисунке BF = 3, FC = 2, AE = 6, EC = 2.5; прямые AF и BE пересекаются в K. Найти: AK:KF.

В треугольнике \(ABF\) точка E лежит на продолжении стороны AF? По рисунку E лежит на AC, поэтому применим массовые точки к треугольнику ABC.

Из \(BF:FC=3:2\) получаем массы в вершинах B и C в отношении \(m_B:m_C=2:3\). Из \(AE:EC=6:2.5=12:5\) получаем \(m_C:m_A=12:5\). Можно взять \(m_A=5, m_B=8, m_C=12\); тогда масса точки F равна \(m_F=m_B+m_C=20\).

На cevian AF точка K делит отрезок в обратном отношении масс концов: \(AK:KF=m_F:m_A=20:5=4:1\).

Ответ: \(AK:KF=4:1\).