8. Дано: ABCD — параллелограмм; отмеченные на рисунке точки на BC и AD являются серединами этих сторон. Прямые, проведённые из A и C через эти середины, пересекают диагональ BD в точках M и N. Доказать: BM = MN = ND.

Введём координаты: \(A=(0,0)\), \(D=(2,0)\), \(B=(u,v)\), тогда \(C=(u+2,v)\). Середина BC имеет координаты \((u+1,v)\), а середина AD — \((1,0)\).

Точка на BD, отсчитанная от B долей \(t\), имеет координаты \(B+t(D-B)\). Пересечение BD с прямой из A через середину BC получается при \(t=\frac13\), значит, это M и \(BM=\frac13BD\).

Пересечение BD с прямой из C через середину AD получается при \(t=\frac23\), значит, это N и \(BN=\frac23BD\). Следовательно, \(MN=BN-BM=\frac13BD\), а \(ND=BD-BN=\frac13BD\).

Итак, \(BM=MN=ND\).