№ 7. Найдите \(f'(8)\), если \(\displaystyle f(x)=\frac1x-\sqrt[3]{x}\).

Запишем функцию в степенном виде и найдём производную:

\(\displaystyle f(x)=x^{-1}-x^{1/3},\qquad f'(x)=-x^{-2}-\frac13x^{-2/3}.\)

Подставим \(x=8\):

\(\displaystyle f'(8)=-\frac1{64}-\frac{1}{3\cdot\sqrt[3]{8^2}}=-\frac1{64}-\frac1{12}=-\frac{19}{192}.\)

Ответ: \(f'(8)=-\frac{19}{192}\).