№ 8. Найдите \(g'(1)\), если \(g(x)=4\sqrt[8]{x}+\sqrt[12]{x}\).

Представим корни как степени и продифференцируем:

\(\displaystyle g(x)=4x^{1/8}+x^{1/12},\qquad g'(x)=\frac{4}{8}x^{-7/8}+\frac{1}{12}x^{-11/12}.\)

При \(x=1\) обе степени равны единице:

\(\displaystyle g'(1)=\frac{4}{8}+\frac{1}{12}=\frac12+\frac1{12}=\frac7{12}.\)

Ответ: \(g'(1)=\frac{7}{12}\).