7. Найти: AK : KF.

По рисунку AE = 6, EC = 2.5, BF = 3, FC = 2. Точка K — пересечение BE и AF. В треугольнике ABC применим теорему Менелая к секущей E–K–F:

\(\frac{AE}{EC}\cdot\frac{CF}{FB}\cdot\frac{BK}{KE}=1\). Тогда \(\frac{BK}{KE}=\frac{EC}{AE}\cdot\frac{FB}{CF}=\frac{2.5}{6}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{8}\).

Чтобы получить искомое отношение на AF, зададим координаты: A = (0, 0), C = (8.5, 0), B — произвольная точка. Тогда E = \(\frac{12}{17}C\), а F = \(\frac25B+\frac35C\), поскольку BF:FC = 3:2. Пересечение прямых BE и AF делит AF в отношении \(AK:KF=4:1\).

Ответ: AK : KF = 4 : 1.