8. Дано: ABCD — параллелограмм. Доказать: BM = MN = ND.

По отметкам E — середина BC, а F — середина AD. Обозначим \(\overrightarrow{AB}=u\), \(\overrightarrow{AD}=v\). Тогда B = u, D = v, C = u + v, E = u + v/2, F = v/2.

Точка M лежит на диагонали BD и прямой AE. Запишем точку диагонали как \((1-t)u+tv\). На прямой AE она имеет вид \(\lambda(u+v/2)\). Приравнивая коэффициенты, получаем \(t=1/3\).

Точка N лежит на BD и прямой FC. На FC она имеет вид \(v/2+\lambda(u+v/2)\). Приравнивание коэффициентов с выражением для точки BD даёт \(t=2/3\).

Значит, M и N делят диагональ BD на три равные части: \(BM=MN=ND\).