7. Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними).

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними: \(S=\frac12 ab\sin C\).

Доказательство. Проведём высоту h к стороне a. В прямоугольном треугольнике при угле C имеем \(\sin C=\frac{h}{b}\), поэтому \(h=b\sin C\). По формуле площади треугольника \(S=\frac12 ah\). Подставляя высоту, получаем \(S=\frac12 ab\sin C\). Если угол C тупой, высота к прямой, содержащей сторону a, также равна \(b\sin C\), поскольку \(\sin(180°-C)=\sin C\). Теорема доказана.