9. Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\).

Доказательство. Разместим сторону c на горизонтальной оси координат: пусть вершина A имеет координаты (0; 0), вершина B — (c; 0), а вершина C — \((b\cos A,b\sin A)\), где A — угол между сторонами b и c. По формуле расстояния между B и C:

\[a^2=(c-b\cos A)^2+(b\sin A)^2.\]

Раскрывая скобки и используя \(\sin^2 A+\cos^2 A=1\), получаем \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\). Это теорема косинусов; выбор любой стороны в качестве искомой даёт равносильную форму, в частности \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\).