8. Сформулируйте и докажите теорему синусов.

Теорема синусов. В любом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех трёх сторон: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\).

Доказательство. Площадь треугольника можно выразить через каждую пару сторон и угол между ними:

\[S=\frac12bc\sin A=\frac12ca\sin B=\frac12ab\sin C.\]

Приравняв первые два выражения и сократив на \(\frac12c\), получаем \(b\sin A=a\sin B\), то есть \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\). Аналогично из равенства выражений через пары сторон b, c следует \(\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\). Следовательно, все три отношения равны.