7. Сколько среди целых чисел от 10 до 1000 таких, что: а) в их записи встречаются ровно три одинаковые цифры; б) каждая последующая цифра больше предыдущей; в) сумма цифр равна 9?

а) Подходят трёхзначные числа с тремя одинаковыми цифрами: 111, 222, …, 999. Их 9.

б) Для двузначных чисел выбираем две возрастающие цифры из 1–9: \(\binom{9}{2}=36\). Для трёхзначных — три возрастающие цифры из 1–9: \(\binom{9}{3}=84\). Всего 36 + 84 = 120.

в) Двузначные числа с суммой цифр 9: 9 вариантов. Для трёхзначных пусть первая цифра не меньше 1; после вычитания 1 слагаемые в сумме дают 8, что даёт \(\binom{10}{2}=45\) вариантов. Итого 9 + 45 = 54.

Ответ: а) 9; б) 120; в) 54.