7) Упростите выражение \(\sqrt{5^4 \cdot 2^8 \cdot 3^2}\)

Решение:

Чтобы упростить выражение, воспользуемся свойством \(\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}\) и \(\sqrt{x^n} = x^{n/2}\).

1. Разделим выражение под корнем на отдельные множители: \( \sqrt{5^4} \cdot \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^2} \).
2. Извлечём квадратный корень из каждого множителя:
• \( \sqrt{5^4} = 5^{4/2} = 5^2 = 25 \).
• \( \sqrt{2^8} = 2^{8/2} = 2^4 = 16 \).
• \( \sqrt{3^2} = 3^{2/2} = 3^1 = 3 \).
3. Перемножим полученные результаты: \( 25 \cdot 16 \cdot 3 \).
4. Выполним умножение: \( 25 \cdot 16 = 400 \), затем \( 400 \cdot 3 = 1200 \).

Ответ: 1200