9) Упростите выражение \((\sqrt{5} + \sqrt{6})(\sqrt{5} - \sqrt{6})^2\)

Решение:

Воспользуемся формулами разности квадратов \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) и квадрата разности \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

1. Сначала раскроем квадрат разности: \( (\sqrt{5} - \sqrt{6})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 5 - 2\sqrt{30} + 6 = 11 - 2\sqrt{30} \).
2. Теперь умножим \( (\sqrt{5} + \sqrt{6}) \) на результат: \( (\sqrt{5} + \sqrt{6})(11 - 2\sqrt{30}) \).
3. Раскроем скобки:
• \( \sqrt{5} \cdot 11 = 11\sqrt{5} \)
• \( \sqrt{5} \cdot (-2\sqrt{30}) = -2\sqrt{5 \cdot 30} = -2\sqrt{150} = -2\sqrt{25 \cdot 6} = -2 \cdot 5\sqrt{6} = -10\sqrt{6} \)
• \( \sqrt{6} \cdot 11 = 11\sqrt{6} \)
• \( \sqrt{6} \cdot (-2\sqrt{30}) = -2\sqrt{6 \cdot 30} = -2\sqrt{180} = -2\sqrt{36 \cdot 5} = -2 \cdot 6\sqrt{5} = -12\sqrt{5} \)
4. Сложим все части: \( 11\sqrt{5} - 10\sqrt{6} + 11\sqrt{6} - 12\sqrt{5} \).
5. Приведём подобные слагаемые: \( (11\sqrt{5} - 12\sqrt{5}) + (-10\sqrt{6} + 11\sqrt{6}) = -\sqrt{5} + \sqrt{6} \).

Ответ: \(\sqrt{6} - \sqrt{5}\)