7. В арифметической прогрессии второй член равен 9, а разность равна 20. Найдите десятый член этой прогрессии и сумму первых десяти её членов.

Решение:

Дано: арифметическая прогрессия \( (a_n) \).

• \( a_2 = 9 \)
• \( d = 20 \)

1. Найдём десятый член \( a_{10} \):

Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Сначала найдём первый член \( a_1 \), зная, что \( a_2 = a_1 + d \):

\(\begin{align*}\) 9 &= a_1 + 20 \\ a_1 &= 9 - 20 \\ a_1 &= -11 \(\end{align*}\)

Теперь найдём \( a_{10} \):

\(\begin{align*}\) a_{10} &= a_1 + (10-1)d \\ a_{10} &= -11 + 9 \(\cdot\) 20 \\ a_{10} &= -11 + 180 \\ a_{10} &= 169 \(\end{align*}\)

2. Найдём сумму первых десяти членов \( S_{10} \):

Формула суммы первых \( n \) членов: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \).

\(\begin{align*}\) S_{10} &= \(\frac{a_1 + a_{10}}{2}\) \(\cdot\) 10 \\ S_{10} &= \(\frac{-11 + 169}{2}\) \(\cdot\) 10 \\ S_{10} &= \(\frac{158}{2}\) \(\cdot\) 10 \\ S_{10} &= 79 \(\cdot\) 10 \\ S_{10} &= 790 \(\end{align*}\)

Ответ: Десятый член прогрессии \( a_{10} = 169 \), сумма первых десяти членов \( S_{10} = 790 \).