8. Моторная лодка прошла против течения реки 8 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 30 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч). Тогда:

• Скорость лодки против течения: \( v - 4 \) км/ч.
• Скорость лодки по течению: \( v + 4 \) км/ч.

Время движения против течения: \( t_{\text{против}} = \frac{8}{v - 4} \) ч.

Время движения по течению: \( t_{\text{по}} = \frac{8}{v + 4} \) ч.

По условию, на обратный путь (по течению) лодка затратила на 30 минут меньше. 30 минут — это 0,5 часа.

\( t_{\text{по}} = t_{\text{против}} - 0.5 \)

Подставим выражения для времени:

\(\begin{align*}\) \(\frac{8}{v + 4}\) &= \(\frac{8}{v - 4}\) - 0.5 \(\end{align*}\)

Умножим всё на \( (v+4)(v-4) \) для избавления от знаменателей (при условии \( v \neq 4 \) и \( v \neq -4 \)):

\(\begin{align*}\) 8(v - 4) &= 8(v + 4) - 0.5(v + 4)(v - 4) \\ 8v - 32 &= 8v + 32 - 0.5(v^2 - 16) \\ 8v - 32 &= 8v + 32 - 0.5v^2 + 8 \(\end{align*}\)

Сократим \( 8v \) с обеих сторон:

\(\begin{align*}\) -32 &= 32 - 0.5v^2 + 8 \\ -32 &= 40 - 0.5v^2 \\ 0.5v^2 &= 40 + 32 \\ 0.5v^2 &= 72 \\ v^2 &= \(\frac{72}{0.5}\) \\ v^2 &= 144 \\ v &= \(\pm\) \(\sqrt{144}\) \\ v &= \(\pm\) 12 \(\end{align*}\)

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:

\( v = 12 \) км/ч.

Ответ: Скорость лодки в неподвижной воде равна \( 12 \) км/ч.