Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Чтобы сократить дробь \( \frac{17 + 2\sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \), умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение знаменателя, то есть на \( \sqrt{5} - \sqrt{2} \).
\(\begin{align*}\) \(\frac{17 + 2\sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}\) &= \(\frac\){\(17 + 2\sqrt{10}\)\(\sqrt{5} - \sqrt{2}\)}{\(\sqrt{5} + \sqrt{2}\)\(\sqrt{5} - \sqrt{2}\)} \(\end{align*}\)Раскроем скобки в числителе:
\(\begin{align*}\) \(17 + 2\sqrt{10}\)\(\sqrt{5} - \sqrt{2}\) &= 17\(\sqrt{5}\) - 17\(\sqrt{2}\) + 2\(\sqrt{10}\)\(\sqrt{5}\) - 2\(\sqrt{10}\)\(\sqrt{2}\) \\ &= 17\(\sqrt{5}\) - 17\(\sqrt{2}\) + 2\(\sqrt{50}\) - 2\(\sqrt{20}\) \\ &= 17\(\sqrt{5}\) - 17\(\sqrt{2}\) + 2\(\sqrt{25 \cdot 2}\) - 2\(\sqrt{4 \cdot 5}\) \\ &= 17\(\sqrt{5}\) - 17\(\sqrt{2}\) + 2 \(\cdot\) 5\(\sqrt{2}\) - 2 \(\cdot\) 2\(\sqrt{5}\) \\ &= 17\(\sqrt{5}\) - 17\(\sqrt{2}\) + 10\(\sqrt{2}\) - 4\(\sqrt{5}\) \\ &= (17 - 4)\(\sqrt{5}\) + (-17 + 10)\(\sqrt{2}\) \\ &= 13\(\sqrt{5}\) - 7\(\sqrt{2}\) \(\end{align*}\)Раскроем скобки в знаменателе (разность квадратов):
\(\begin{align*}\) \(\sqrt{5} + \sqrt{2}\)\(\sqrt{5} - \sqrt{2}\) &= \(\sqrt{5}\)^2 - \(\sqrt{2}\)^2 \\ &= 5 - 2 \\ &= 3 \(\end{align*}\)Теперь запишем дробь с преобразованными числителем и знаменателем:
\(\begin{align*}\) \(\frac{13\sqrt{5} - 7\sqrt{2}}{3}\) \(\end{align*}\)Ответ: \( \frac{13\sqrt{5} - 7\sqrt{2}}{3} \).
