772 В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если ВС = 102°.

Решение:

Треугольник \( ABC \) равнобедренный с основанием \( BC \), значит \( AB = AC \).

Следовательно, дуги, на которые опираются равные стороны, тоже равны: \( \cup AB = \cup AC \).

Дано, что дуга \( BC = 102° \).

Вся окружность равна 360°.

Сумма дуг \( AB + AC + BC = 360° \).

Так как \( \cup AB = \cup AC \), то \( 2 \cup AB + 102° = 360° \).

\( 2 \cup AB = 360° - 102° = 258° \).

\( \cup AB = \frac{258°}{2} = 129° \).

Следовательно, \( \cup AC = 129° \).

Угол \( BAC \) — вписанный, опирается на дугу \( BC \).

\( \angle BAC = \frac{1}{2} \cup BC = \frac{1}{2} \cdot 102° = 51° \).

Угол \( ABC \) — вписанный, опирается на дугу \( AC \).

\( \angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC = \frac{1}{2} \cdot 129° = 64.5° \).

Угол \( ACB \) — вписанный, опирается на дугу \( AB \).

\( \angle ACB = \frac{1}{2} \cup AB = \frac{1}{2} \cdot 129° = 64.5° \).

Проверка: \( 51° + 64.5° + 64.5° = 180° \).

Ответ: \( \angle BAC = 51°, \angle ABC = 64.5°, \angle ACB = 64.5° \).