773 Через точку А к данной окружности проведены касательная AB (B — точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D — точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите ∠BAD и ∠ADB, если BD = 110°20'.

Решение:

Касательная \( AB \) перпендикулярна радиусу \( OB \), проведённому в точку касания. Следовательно, \( \angle ABO = 90^{\circ} \).

OD — радиус окружности, \( OB = OD \).

Треугольник \( OBD \) равнобедренный. Угол \( \angle BOD \) — центральный, опирается на дугу \( BD \). Величина дуги \( BD \) равна \( 110^{\circ} 20' \).

\( \angle BOD = 110^{\circ} 20' \).

Углы при основании равнобедренного треугольника \( OBD \) равны:

\( \angle OBD = \angle ODB = \frac{180^{\circ} - 110^{\circ} 20'}{2} = \frac{69^{\circ} 40'}{2} = 34^{\circ} 50' \).

\( \angle ADB = \angle ODB = 34^{\circ} 50' \).

Угол \( \angle BAD \) — часть угла \( \angle BAO \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABO \). \( \angle ABO = 90^{\circ} \).

\( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle BOD = 180^{\circ} - 110^{\circ} 20' = 69^{\circ} 40' \) (развёрнутый угол).

В треугольнике \( ABO \):

\( \angle BAO = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 69^{\circ} 40' = 20^{\circ} 20' \).

\( \angle BAD = \angle BAO = 20^{\circ} 20' \).

Ответ: \( \angle BAD = 20^{\circ} 20', \angle ADB = 34^{\circ} 50' \).