8. ABCD — трапеция, AD = 30, ∠ABC = 135°, ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°. Найти BC.

Треугольник BCD прямоугольный: ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°. Значит, ∠CBD = 45° и BC = CD.

Угол ABC состоит из углов ABD и DBC, поэтому ∠ABD = 135° − 45° = 90°. Поскольку BC ∥ AD и CD ⟂ BC, также CD ⟂ AD. В угле CDA диагональ DB отсекает угол BDC = 45°, следовательно, ∠BDA = 45°.

Треугольник ABD прямоугольный равнобедренный, а AD = 30 — его гипотенуза. Поэтому BD = 30/√2 = 15√2.

Треугольник BCD тоже прямоугольный равнобедренный, в котором BD — гипотенуза. Значит, BC = BD/√2 = 15.

Ответ: BC = 15.