9. ABCD — трапеция, BC ∥ AD. По рисунку O — середина AB, точки E, O, C лежат на одной прямой, ∠BAD = 60°, угол между BC и CE равен 30°, CE ⟂ CD. Дано: AD = 15. Найти периметр трапеции.

Введём координаты: A = (0, 0), D = (15, 0). Пусть AB = t. Из ∠BAD = 60° получаем B = (t/2, √3t/2). Так как O — середина AB, O = (t/4, √3t/4). Основание BC параллельно AD, поэтому C = (c, √3t/2).

Прямая OC образует с горизонтальным основанием угол 30°. Разность высот точек C и O равна √3t/4, поэтому горизонтальная разность равна (√3t/4)/tan 30° = 3t/4. Следовательно, c − t/4 = 3t/4, то есть c = t.

Поскольку CD ⟂ CE, а CE образует с горизонталью угол 30°, перепад высоты между C и D равен √3(15 − t). Высота трапеции по координатам равна √3t/2. Поэтому √3t/2 = √3(15 − t), откуда t = 10.

Тогда AB = 10, BC = Cx − Bx = 10 − 5 = 5. Кроме того, CD = √((15 − 10)² + (10√3/2)²) = √(25 + 75) = 10.

Периметр равен AB + BC + CD + AD = 10 + 5 + 10 + 15 = 40.

Ответ: периметр трапеции равен 40.