8. б) Найдите tga, если \( \sin\alpha = \frac{2\sqrt{29}}{29} \), \( \alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right) \)

Краткая запись:

• Дано: \( \sin\alpha = \frac{2\sqrt{29}}{29} \), \( \alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right) \)
• Найти: \( \text{tg}\alpha \)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1 \).
2. Шаг 2: Подставим значение \( \sin\alpha \):
   \( \left(\frac{2\sqrt{29}}{29}\right)^{2} + \cos^{2}\alpha = 1 \)
   \( \frac{4 \cdot 29}{29^{2}} + \cos^{2}\alpha = 1 \)
   \( \frac{4}{29} + \cos^{2}\alpha = 1 \).
3. Шаг 3: Найдем \( \cos^{2}\alpha \):
   \( \cos^{2}\alpha = 1 - \frac{4}{29} \)
   \( \cos^{2}\alpha = \frac{29 - 4}{29} \)
   \( \cos^{2}\alpha = \frac{25}{29} \).
4. Шаг 4: Так как \( \alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right) \), \( \alpha \) находится в первой четверти, где \( \cos\alpha > 0 \). Следовательно, \( \cos\alpha = √{\frac{25}{29}} = \frac{5}{√{29}} \).
5. Шаг 5: Найдем \( \text{tg}\alpha \) по определению: \( \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \).
6. Шаг 6: Подставим значения \( \sin\alpha \) и \( \cos\alpha \):
   \( \text{tg}\alpha = \frac{\frac{2√{29}}{29}}{\frac{5}{√{29}}} = \frac{2√{29}}{29} \cdot \frac{√{29}}{5} = \frac{2 \cdot 29}{29 \cdot 5} = \frac{2}{5} \).

Ответ: \( \text{tg}\alpha = \frac{2}{5} \)