8. Дано: ABCD — параллелограмм. На BC и AD отмечены их середины. Доказать: BM = MN = ND.

Обозначим через E середину BC, а через F — середину AD; по рисунку проведены отрезки AE, BD и FC. Пусть M и N — последовательные точки пересечения этих отрезков с диагональю BD.

Введём координаты: \(A=(0,0)\), \(B=(u,v)\), \(D=(w,z)\). Тогда из свойства параллелограмма \(C=(u+w,v+z)\), а середины сторон имеют координаты \(E=(u+ frac w2,v+ frac z2)\) и \(F=( frac w2, frac z2)\).

Точка пересечения AE с BD находится при параметре \( frac13\) на диагонали, отсчитывая от B: \(M=B+ frac13(D-B)\). Точка пересечения FC с BD находится при параметре \( frac23\): \(N=B+ frac23(D-B)\). Значит, диагональ BD разделена точками M и N на три равные части.

Следовательно, BM = MN = ND.