9. На рисунке D — середина BC, K — середина AD, а точки B, K и P лежат на одной прямой; P лежит на AC. Найти: AP : PC.

Пусть \(A=(0,0)\), \(C=(1,0)\), а \(B=(u,v)\). Поскольку D — середина BC, \(D=( \frac{u+1}{2}, frac v2)\). Так как K — середина AD, \(K=( \frac{u+1}{4}, frac v4)\).

Прямая BK пересекает AC (где y = 0) в точке P. На прямой от B к K координата y меняется от v до \(v/4\); чтобы дойти до нуля, нужно продолжить отрезок BK в \( frac43\) раза. Поэтому координата P по AC равна \( frac13\), то есть \(AP= frac13 AC\) и \(PC= frac23 AC\).

Ответ: AP : PC = 1 : 2.