8. Дано: ABCD — параллелограмм; отмеченные точки на BC и AD — их середины. Диагональ BD пересекает отрезки, соединяющие A с серединой BC и середину AD с C, в точках M и N соответственно. Доказать: BM = MN = ND.

Обозначим середины BC и AD через P и Q. Введём координаты параллелограмма: \(A=(0,0)\), \(B=(0,1)\), \(D=(2,0)\), \(C=(2,1)\). Тогда \(P=(1,1)\), \(Q=(1,0)\).

Точка диагонали BD имеет вид \((2t,1-t)\), где \(t=0\) соответствует B, а \(t=1\) — D. На AP координаты имеют вид \((s,s)\). В пересечении AP и BD: \(s=2t=1-t\), поэтому \(t=\frac13\). Значит, \(BM=\frac13BD\).

На QC координаты имеют вид \((1+r,r)\). При пересечении QC с BD получаем \(2t=1+r\) и \(1-t=r\), откуда \(t=\frac23\). Следовательно, \(BN=\frac23BD\), поэтому \(MN=\frac13BD\) и \(ND=\frac13BD\).

Итак, BM = MN = ND.