8. Дано: AC=b. Найти x.

По отметкам BD — биссектриса угла B, \(\angle A=\alpha\), половина угла B равна \(\beta\), а угол BDC обозначен \(\gamma\). В треугольнике ABD угол при D равен \(180^\circ-\alpha-\beta\), поэтому \(\gamma=\alpha+\beta\). По теореме синусов в ABD: \(AD=x\,\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha}\). В треугольнике BDC угол при C равен \(180^\circ-2\beta-\gamma\); по теореме синусов и равенству углов при B:

\(DC=x\,\dfrac{\sin\beta}{\sin(2\beta)}\).

Так как \(AD+DC=AC=b\), получаем:

\(b=x\sin\beta\left(\dfrac1{\sin\alpha}+\dfrac1{\sin2\beta}\right)\).

Ответ: \(x=\dfrac{b}{\sin\beta\left(\dfrac1{\sin\alpha}+\dfrac1{\sin2\beta}\right)}\).