8. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, а M — середина гипотенузы AB. Проведём окружность с центром M и радиусом MA. Поскольку M — середина AB, точки A и B лежат на этой окружности.

Так как ∠ACB = 90°, по обратной теореме Фалеса точка C также лежит на окружности с диаметром AB. Её центр — середина AB, то есть M. Поэтому MC — радиус этой окружности, как и MA.

Следовательно, медиана CM равна MA = AB/2, то есть половине гипотенузы. Что и требовалось доказать.