№ 8. Луч BO проходит через середину стороны AC треугольника ABC, отрезки AK и CP — перпендикулярны к нему. Докажите, что AK = CP.

Обозначим середину стороны \(AC\) через \(O\). Тогда \(AO=OC\).

Так как \(AK\perp BO\) и \(CP\perp BO\), углы \(AKO\) и \(CPO\) прямые.

Углы \(AOK\) и \(COP\) равны как вертикальные, поскольку прямые \(AC\) и \(BO\) пересекаются в точке \(O\).

Следовательно, прямоугольные треугольники \(AOK\) и \(COP\) равны по катету и острому углу: \(AO=OC\), \(\angle AKO=\angle CPO=90°\), \(\angle AOK=\angle COP\).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: \(AK=CP\).

Что и требовалось доказать.