№ 9. O — середина отрезка AB. Точки C и D лежат по разные стороны от прямой AB, причем CO = OD. Докажите, что AC ∥ DB.

Так как \(O\) — середина \(AB\), то \(AO=OB\). По условию \(CO=OD\).

Прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\), поэтому углы \(AOC\) и \(BOD\) — вертикальные и равны.

Следовательно, треугольники \(AOC\) и \(BOD\) равны по двум сторонам и углу между ними: \(AO=OB\), \(CO=OD\), \(\angle AOC=\angle BOD\).

Отсюда \(\angle CAO=\angle DBO\). Это накрест лежащие углы при пересечении прямых \(AC\) и \(DB\) секущей \(AB\).

Равенство накрест лежащих углов означает, что прямые параллельны: \(AC\parallel DB\).

Что и требовалось доказать.