8. Найдите неизвестные углы параллелограмма MNKP, если MK = KN, PK = 25°, а KL ⟂ MP, где L лежит на MP.

Поскольку KL ⟂ MP, треугольник PLK прямоугольный. Угол при P равен 25°, поэтому ∠PLK = 90° и ∠LKP = 180° − 90° − 25° = 65°.

В параллелограмме PK ∥ MN, MP ∥ KN. Угол между PK и MP равен 25°, поэтому ∠P = ∠N = 25°, а ∠M = ∠K = 155°.

Условие MK = KN даёт равнобедренный треугольник MKN с основанием MN. Поскольку MN ∥ PK, угол между MK и MN равен углу между MK и PK. При K этот угол равен 155° − 65° = 90°; следовательно, MK ⟂ MN. Тогда треугольник MKN имеет прямой угол при M и равные стороны MK и KN, что невозможно: в прямоугольном треугольнике гипотенуза KN длиннее катета MK.

Ответ: данные условия противоречивы; такой параллелограмм не существует. Из условий о перпендикуляре и угле 25° следует, что угол между MK и PK равен 90°, что несовместимо с MK = KN.