8. Постройте график функции \(y=2|x-3|-x^2+7x-12\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

При \(x<3\): \(y=-x^2+5x-6=-(x-\frac52)^2+\frac14\). При \(x\ge3\): \(y=-x^2+9x-18=-(x-\frac92)^2+\frac94\). Обе части соединяются в точке \((3;0)\); вершины — \((\frac52;\frac14)\) и \((\frac92;\frac94)\).

Левая часть имеет максимум \(\frac14\) и на уровне \(m=0\right) пересекает график ещё в точке \(x=2\right), кроме точки стыка. Правая часть при \(0<m<\frac94\) даёт две точки, а при \(m=\frac94\) — одну. Ровно три пересечения получаются при \(m=0\right) и при \(m=\frac14\): на уровне \(\frac14\) левая часть даёт одну точку, правая — две.

Ответ: \(m=0\) или \(m=\frac14\).