8. Решите уравнение 7/(x² - x - 12) + 1/(x + 3) = -1.

Решаем уравнение:

7/(x² - x - 12) + 1/(x + 3) = -1

1. Находим общий знаменатель. Для этого разложим знаменатель первой дроби на множители:
   x² - x - 12.
   Ищем два числа, произведение которых равно -12, а сумма равна 1 (коэффициент при x с противоположным знаком). Это числа 4 и -3.
   Значит, x² - x - 12 = (x + 4)(x - 3).
2. Приводим все дроби к общему знаменателю (x + 4)(x - 3). Не забываем, что x ≠ -4 и x ≠ 3 (чтобы знаменатели не были равны нулю).
3. Переписываем уравнение с общим знаменателем:
   7/((x + 4)(x - 3)) + (x + 4)/((x + 4)(x - 3)) = -((x + 4)(x - 3))/((x + 4)(x - 3))
4. Умножаем обе части на общий знаменатель (x + 4)(x - 3):
   7 + (x + 4) = -(x + 4)(x - 3)
5. Раскрываем скобки и упрощаем:
   7 + x + 4 = -(x² - 3x + 4x - 12)
x + 11 = -(x² + x - 12)
x + 11 = -x² - x + 12
6. Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   x² + x + x + 11 - 12 = 0
x² + 2x - 1 = 0
7. Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта D = b² - 4ac:
   a = 1, b = 2, c = -1.
   D = 2² - 4 * 1 * (-1) = 4 + 4 = 8.
   √D = √8 = 2√2.
8. Находим корни уравнения:
   x₁ = (-b + √D) / 2a = (-2 + 2√2) / 2 = -1 + √2.
   x₂ = (-b - √D) / 2a = (-2 - 2√2) / 2 = -1 - √2.
9. Проверяем, не равны ли корни запрещенным значениям (-4 и 3). Наши корни -1 + √2 (примерно -1 + 1.41 = 0.41) и -1 - √2 (примерно -1 - 1.41 = -2.41) не равны -4 или 3.

Ответ: x = -1 + √2, x = -1 - √2