8. Сформулируйте и докажите правила нахождения координат суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов.

Пусть \(\vec a=(a_x,a_y)\), \(\vec b=(b_x,b_y)\), а \(k\) — число.

1. Сумма: \(\vec a+\vec b=(a_x+b_x,\ a_y+b_y)\). Действительно, разложим векторы по единичным векторам осей: \(\vec a=a_x\vec i+a_y\vec j\), \(\vec b=b_x\vec i+b_y\vec j\). Тогда \(\vec a+\vec b=(a_x+b_x)\vec i+(a_y+b_y)\vec j\).
2. Разность: \(\vec a-\vec b=(a_x-b_x,\ a_y-b_y)\). Это следует из \(\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)\), где \(-\vec b=(-b_x,-b_y)\).
3. Умножение на число: \(k\vec a=(ka_x,ka_y)\). По распределительному свойству \(k\vec a=k(a_x\vec i+a_y\vec j)=ka_x\vec i+ka_y\vec j\).