8. Событию U в ходе некоторого опыта благоприятствуют 5 элементарных событий. Событию V благоприятствуют 8 элементарных событий, при этом только одно из них не благоприятствует событию U. Нарисуйте соответствующую диаграмму Эйлера. Сколько элементарных событий благоприятствует событию U∪V?

Решение:

Обозначим общее число элементарных событий в опыте как \( \Omega \).

По условию:

• Число элементарных событий, благоприятствующих событию U, равно \( |U| = 5 \).
• Число элементарных событий, благоприятствующих событию V, равно \( |V| = 8 \).
• «Только одно из них (из благоприятствующих V) не благоприятствует событию U». Это означает, что из 8 элементарных событий, благоприятствующих V, одно событие не принадлежит U. Следовательно, \( |V \ U| = 1 \).

Так как \( |V \ U| = |V| - |U \cap V| \), то \( 1 = 8 - |U \cap V| \), откуда \( |U \cap V| = 7 \).

Однако, это противоречит условию, что \( |U| = 5 \), так как число элементов в пересечении \( U \cap V \) не может быть больше числа элементов в \( U \).

Предположим, что имелось в виду: «только одно из элементарных событий, благоприятствующих событию U, не благоприятствует событию V».

В этом случае: \( |U \ V| = 1 \).

Мы знаем, что \( |U| = 5 \), и \( |U \ V| = |U| - |U \cap V| \).

Тогда \( 1 = 5 - |U \cap V| \), откуда \( |U \cap V| = 4 \).

Теперь проверим условие для V: \( |V| = 8 \) и \( |U \cap V| = 4 \).

Тогда число элементарных событий, благоприятствующих V, но не U, равно \( |V \ U| = |V| - |U \cap V| = 8 - 4 = 4 \). Это не противоречит условиям.

Диаграмма Эйлера:

Сколько элементарных событий благоприятствует событию U∪V?

По формуле включений-исключений:

\[ |U \cup V| = |U| + |V| - |U \cap V| \]

\[ |U \cup V| = 5 + 8 - 4 = 9 \]

Ответ: На диаграмме Эйлера: в области U, но вне V - 1 событие; в области V, но вне U - 4 события; в области пересечения U и V - 4 события. Всего благоприятствует событию U∪V 9 элементарных событий.