8. В окружности с центром O проведена хорда AB и продолжена на расстояние BC, равное радиусу (см. рис.). Докажите, что ∠AOD = 3∠ACD.

Обозначим ∠ACD = x. Точки A, B, C лежат на одной прямой, причём B между A и C. Поскольку BC равно радиусу окружности, а OB также радиус, треугольник OBC равнобедренный: ∠OCB = ∠BOC = x, так как ∠OCB = ∠ACD.

Тогда ∠OBC = 180° − 2x. Луч BA противоположен лучу BC, поэтому ∠ABO = 180° − ∠OBC = 2x. В треугольнике AOB радиусы OA и OB равны, значит, ∠OAB = ∠ABO = 2x. Следовательно, ∠AOB = 180° − 4x.

По рисунку точки D, O, C лежат на одной прямой, причём луч OD противоположен луч OC. Из треугольника OBC следует, что ∠BOC = x, поэтому ∠BOD = 180° − x. Тогда ∠AOD = ∠BOD − ∠BOA = (180° − x) − (180° − 4x) = 3x.

Итак, ∠AOD = 3∠ACD, что и требовалось доказать.