8. Возвести в степень (1+√3i)⁶.

Решение:

Переведём комплексное число \( 1 + \sqrt{3}i \) в тригонометрическую форму \( z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) \).

Модуль \( r = |1 + \sqrt{3}i| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \).

Аргумент \( \varphi \) найдём из условий \( \cos \varphi = \frac{1}{2} \) и \( \sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Отсюда \( \varphi = \frac{\pi}{3} \).

Таким образом, \( 1 + \sqrt{3}i = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) \).

По формуле Муавра \( z^n = r^n (\cos (n\varphi) + i \sin (n\varphi)) \), возведём число в 6-ю степень:

\( (1 + \sqrt{3}i)^6 = 2^6 (\cos (6 \cdot \frac{\pi}{3}) + i \sin (6 \cdot \frac{\pi}{3})) \)

\( = 64 (\cos (2\pi) + i \sin (2\pi)) \)

\( = 64 (1 + i \cdot 0) = 64 \).

Ответ: г. 64+64i