865. В треугольнике ABC, сторона AC в 2 раза больше стороны BC, проведены биссектриса CM и биссектриса внешнего угла при вершине C, пересекающая прямую AB в точке K. Докажите, что \( S_{BCM} = \frac{1}{2} S_{ACM} = \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{CMK} \).

Для начала рассмотрим соотношение площадей треугольников BCM и ACM. Поскольку CM - биссектриса, то \( \frac{AM}{MB} = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{1} \). Значит, AM = 2MB. Площади треугольников с общей высотой относятся как их основания. Следовательно, \( \frac{S_{BCM}}{S_{ACM}} = \frac{MB}{AM} = \frac{1}{2} \), то есть \( S_{BCM} = \frac{1}{2}S_{ACM} \). Теперь рассмотрим соотношение площадей треугольников BCM и ABC. Так как AM=2MB, то AB=3MB. Тогда \( \frac{S_{BCM}}{S_{ABC}} = \frac{MB}{AB} = \frac{MB}{3MB} = \frac{1}{3} \). Следовательно, \( S_{BCM} = \frac{1}{3} S_{ABC} \). Далее, рассмотрим биссектрису внешнего угла CK. По свойству биссектрисы внешнего угла, \( \frac{AK}{BK} = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{1} \). Пусть AK = 2x, тогда BK = x. Так как AM = 2MB, а AB = 3MB, то, если MB=y, AB = 3y, AM = 2y. Тогда, AK=2x, AB=3y, так же BK = x и BK + AB = AK или x + 3y = 2x, и 3y = x. Таким образом, AK = 6y, BK = 3y. Тогда \( MK = AK - AM = 6y - 2y = 4y \). Таким образом, \( \frac{S_{BCM}}{S_{CMK}} = \frac{BM}{MK} = \frac{y}{4y} = \frac{1}{4} \). Это не соответсвует условию задачи. Но при этом \( \frac{S_{CMK}}{S_{BCM}} = \frac{MK}{MB} = \frac{4}{1} \) или \( S_{BCM} = \frac{1}{4} S_{CMK} \). Таким образом получаем, что \( S_{CMK} = 2 S_{ACM} \), что значит \( S_{BCM} = \frac{1}{2} S_{ACM} \), \( S_{BCM} = \frac{1}{3} S_{ABC} \) но не \( S_{BCM} = \frac{1}{2} S_{CMK} \) и условие задачи не верно. На самом деле \( S_{CMK} = 4 S_{BCM} \) и \( S_{BCM} = \frac{1}{4} S_{CMK} \).