867. В треугольнике ABC прямая, проходящая через вершину A и делящая медиану BM в отношении 1:2, считая от вершины, пересекает сторону BC в точке K. Найдите отношение площадей треугольников ABK и ABC.

Пусть медиана BM пересекается прямой, проходящей через A, в точке P. По условию, BP : PM = 1:2. Медиана BM делит треугольник ABC на два равновеликих треугольника, то есть \( S_{ABM} = S_{CBM} = \frac{1}{2} S_{ABC} \). Треугольники ABP и AMP имеют общую высоту из вершины A, поэтому отношение их площадей равно отношению их оснований: \( \frac{S_{ABP}}{S_{AMP}} = \frac{BP}{PM} = \frac{1}{2} \). Так как \( S_{ABM} = S_{ABP} + S_{AMP} \), то \( S_{ABM} = S_{ABP} + 2 S_{ABP} = 3 S_{ABP} \). Следовательно, \( S_{ABP} = \frac{1}{3} S_{ABM} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{6} S_{ABC} \). Треугольники ABK и ABP имеют общую высоту из вершины B. Отношение их площадей равно отношению оснований \( \frac{S_{ABK}}{S_{ABP}} = \frac{AK}{AP} \). На самом деле мы не можем найти точное соотношение \( \frac{AK}{AP} \). Однако есть другой подход. Отношение \( \frac{S_{ABK}}{S_{ABC}} \). Пусть K делит BC в отношении x:y, то есть \( BK = x \), а \( KC = y \). Тогда \( S_{ABK} = \frac{x}{x+y} S_{ABC} \). Таким образом \( \frac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \frac{BK}{BC} \). Но это не дает нам ответа. Решение. Пусть площадь треугольника ABC равна S. Так как BM медиана, то \(S_{ABM} = S_{CBM} = S/2 \). Отношение \( BP:PM=1:2 \). Тогда \(S_{ABP} = 1/3 * S_{ABM} = 1/6 * S \). Рассмотрим отношение \(S_{ABK} / S_{ABC} = BK/BC \) и отношение \(S_{ABK} / S_{ABM} = BK/BM \). Пусть координаты точек следующие: A(0,1), B(0,0), C(1,0). Тогда M(1/2,0). P(1/6, 1/3). Координаты прямой AP y = 2/3 x + 1. Точка K(x,0), и x = -3/2. Соотношение BK/BC = 1/2. \( S_{ABK} = 1/3 \cdot S_{ABC} \). Отношение площадей равно 1/3.