875. Найти значения $x$, при которых значение производной функции $f(x)$ равно нулю; положительно; отрицательно: 1) $f(x)=2x^3-x^2$; 2) $f(x)=-3x^3+2x^2+4$; 3) $f(x)=x^5-5x^3-20x$; 4) $f(x)=(x+3)^3(x-4)^2$; 5) $f(x)=\frac{3x+1}{x-2}$; 6) $f(x)=x^2+\frac2x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 875. Найти значения $x$, при которых значение производной функции $f(x)$ равно нулю; положительно; отрицательно: 1)…$ Фото задания

875. Найти значения $x$, при которых значение производной функции $f(x)$ равно нулю; положительно; отрицательно: 1) $f(x)=2x^3-x^2$; 2) $f(x)=-3x^3+2x^2+4$; 3) $f(x)=x^5-5x^3-20x$; 4) $f(x)=(x+3)^3(x-4)^2$; 5) $f(x)=\frac{3x+1}{x-2}$; 6) $f(x)=x^2+\frac2x$.

Accepted Answer

$f'(x)=6x^2-2x=2x(3x-1)$. Нуль: $x=0,\frac13$. Положительна при $x<0$ или $x>\frac13$; отрицательна при $0<x<\frac13$.
$f'(x)=-9x^2+4x=x(4-9x)$. Нуль: $x=0,\frac49$. Положительна при $0<x<\frac49$; отрицательна при $x<0$ или $x>\frac49$.
$f'(x)=5x^4-15x^2-20=5(x^2-4)(x^2+1)$. Поскольку $x^2+1>0$, нули: $x=-2,2$. Производная положительна при $x<-2$ и $x>2$, отрицательна при $-2<x<2$.
$f'(x)=3(x+3)^2(x-4)^2+2(x+3)^3(x-4)=(x+3)^2(x-4)(5x+1)$. Нули: $x=-3,-\frac15,4$. Квадратный множитель неотрицателен и знак не меняет; анализ множителей $(x-4)(5x+1)$ даёт: положительна при $x<-\frac15$ и $x>4$, отрицательна при $-\frac15<x<4$, кроме $x=-3$, где производная равна нулю.
Область определения: $x\ne2$. $f'(x)=\frac{3(x-2)-(3x+1)}{(x-2)^2}=-\frac7{(x-2)^2}$. Нулей и положительных значений нет; отрицательна при всех $x\ne2$.
Область определения: $x\ne0$. $f'(x)=2x-\frac2{x^2}=\frac{2(x^3-1)}{x^2}$. Нуль: $x=1$. Положительна при $x>1$, отрицательна при $x<1$, $x\ne0$.

Ответ: