9. 8. Отрезок MH пересекает некоторую плоскость в точке K. Через концы отрезка проведены прямые HP и ME, перпендикулярные плоскости и пересекающие её в точках P и E. Найдите PE, если HP = 4 см, HK = 5 см, ME = 12 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(HPK\): \(HK=5\) см — гипотенуза, \(HP=4\) см. По теореме Пифагора \(PK=\sqrt{5^2-4^2}=3\) см.

Поскольку отрезок \(MH\) пересекает плоскость в K, точки H и M лежат по разные стороны плоскости. Треугольники \(HPK\) и \(MEK\) подобны: у них прямые углы при P и E, а общий угол при K. Поэтому \(KE/PK=ME/HP=12/4=3\), откуда \(KE=9\) см. Точки P и E находятся по разные стороны от K, поэтому \(PE=PK+KE=3+9=12\) см.

Ответ: 12 см.