№ 9. ABCD — трапеция, AB = CD = 7, BC ∥ AD, AH = 3, BH ⟂ AD. BD — биссектриса угла D. Найти AD.

Так как BC ∥ AD, ∠CBD = ∠ADB. По условию BD — биссектриса угла D, следовательно, ∠ADB = ∠BDC. Значит, ∠CBD = ∠BDC, и в треугольнике BCD противоположные этим углам стороны равны: BC = CD = 7.

Высоты из B и C к основанию AD равны. Прямоугольные треугольники ABH и с опущенной из C высотой на AD имеют равные гипотенузы AB = CD и равные высоты, поэтому их горизонтальные проекции равны. Проекция у A равна AH = 3, значит проекция у D тоже равна 3.

Следовательно, AD = 3 + BC + 3 = 3 + 7 + 3 = 13.

Ответ: AD = 13.