9. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если BC = 6.

Обозначим AB = x. Пусть единичные векторы направлений сторон AD и AB равны e и f. Тогда AD = 6e, AB = xf.

Биссектриса угла A направлена как e + f. Её пересечение с BC имеет вид M = xf + (x/6) · 6e, то есть точка M делит BC в отношении BM/BC = x/6.

Биссектриса угла D направлена как f − e. Для её пересечения с BC доля BM/BC равна 1 − x/6. Это та же точка M, поэтому x/6 = 1 − x/6, откуда x = 3.

Периметр равен 2(AB + BC) = 2(3 + 6) = 18.

Ответ: 18.