9. Найдите значение выражения a¹⁹ ⋅ (b⁴)³ / (a ⋅ b)¹² при a=2, b=√2.

Решение:

Упростим выражение, используя свойства степеней.

1. Возведём \( b^4 \) в степень 3: \( (b^4)^3 = b^{4 \cdot 3} = b^{12} \).
2. Раскроем скобки в знаменателе: \( (a \cdot b)^{12} = a^{12} \cdot b^{12} \).
3. Подставим полученные выражения в дробь: \( \frac{a^{19} \cdot b^{12}}{a^{12} \cdot b^{12}} \).
4. Сократим \( b^{12} \) в числителе и знаменателе.
5. Разделим степени \( a \): \( \frac{a^{19}}{a^{12}} = a^{19-12} = a^7 \).
6. Теперь подставим значения \( a=2 \) и \( b=\sqrt{2} \). Поскольку \( b \) сократилось, оно не влияет на результат.
7. Вычислим \( a^7 \): \( 2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128 \).

Ответ: 128