9. Найдите значение выражения $$\frac{a^{19} \cdot (b^{4})^{3}}{(a \cdot b)^{12}}$$ при $$a=2, b=\sqrt{2}$$.

Краткое пояснение:

Для решения этой задачи необходимо сначала упростить выражение, используя свойства степеней, а затем подставить заданные значения $$a=2$$ и $$b=\sqrt{2}$$.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощаем числитель: $$(b^{4})^{3} = b^{4 \cdot 3} = b^{12}$$. Числитель теперь $$a^{19} \cdot b^{12}$$.
2. Шаг 2: Упрощаем знаменатель: $$(a \cdot b)^{12} = a^{12} \cdot b^{12}$$.
3. Шаг 3: Выражение принимает вид: $$\frac{a^{19} \cdot b^{12}}{a^{12} \cdot b^{12}}$$. Сокращаем $$b^{12}$$ и делим степени $$a$$: $$a^{19} : a^{12} = a^{19-12} = a^{7}$$.
4. Шаг 4: Подставляем значения $$a=2$$ и $$b=\sqrt{2}$$. У нас осталось $$a^{7}$$.
5. Шаг 5: Вычисляем: $$a^{7} = 2^{7} = 128$$.

Ответ: 128