9. O — центр описанной окружности. Найти площадь четырёхугольника ABCD, если AD = 16, CD = 6, ∠BAC = 30°, ∠ADC = 60°.

По теореме косинусов в треугольнике ACD: AC² = 16² + 6² − 2 · 16 · 6 cos 60° = 148.

Так как ABCD вписан в окружность, противоположные углы B и D в сумме составляют 180°, поэтому ∠ABC = 120°. В треугольнике ABC углы A и C равны по 30°. По теореме синусов AB = BC = AC/√3. Следовательно, площадь ABC равна AC²√3/12 = 37√3/3.

Площадь ACD равна (1/2) · 16 · 6 · sin 60° = 24√3. Складываем площади двух треугольников: S = 37√3/3 + 24√3 = 109√3/3.

Ответ: 109√3/3.