9. Отрезок MH пересекает некоторую плоскость в точке K. Через концы отрезка проведены прямые HP и ME, перпендикулярные плоскости и пересекающие её в точках P и E. Найдите PE, если HP = 4 см, HK = 5 см, ME = 12 см.

Точки H и M лежат по разные стороны плоскости, поскольку отрезок MH пересекает её в K. Прямоугольные треугольники HKP и MKE подобны: их вертикальные катеты перпендикулярны плоскости, а угол при K общий для соответствующих треугольников. Поэтому \(\frac{HK}{KM}=\frac{HP}{ME}=\frac4{12}=\frac13\), откуда \(KM=15\) см.

В прямоугольном треугольнике HPM гипотенуза \(HM=HK+KM=20\) см, а разность расстояний концов от плоскости равна \(ME-HP=8\) см. Проекция HM на плоскость — отрезок PE, следовательно, \(PE^2=HM^2-8^2=400-64=336\).

Здесь в записи исходного рисунка величины HP и ME являются перпендикулярными расстояниями от концов до плоскости. Значит, \(PE=\sqrt{336}=4\sqrt{21}\) см.

Ответ: 4√21 см.