9. Тип 20 № 338757 i Решите уравнение 1/(x-2)² - 1/(x-2) - 6 = 0.

Привет! Давай решим это дробно-рациональное уравнение.

У нас есть уравнение: 1/(x-2)² - 1/(x-2) - 6 = 0.

Сразу заметим, что x ≠ 2, иначе знаменатель обратится в ноль.

Чтобы упростить, сделаем замену переменной. Пусть y = 1/(x-2). Тогда y² = 1/(x-2)².

Подставим это в уравнение:

y² - y - 6 = 0

Теперь у нас получилось обычное квадратное уравнение относительно y. Решим его.

Можно использовать дискриминант или разложить на множители. Легче разложить на множители: нам нужны два числа, произведение которых равно -6, а сумма равна -1. Это числа -3 и 2.

(y - 3)(y + 2) = 0

Отсюда получаем два значения для y:

1. y - 3 = 0 => y = 3
2. y + 2 = 0 => y = -2

Теперь вернёмся к нашей замене: y = 1/(x-2).

Подставляем y = 3:

1/(x-2) = 3

1 = 3(x - 2)

1 = 3x - 6

3x = 7

x = 7/3

Подставляем y = -2:

1/(x-2) = -2

1 = -2(x - 2)

1 = -2x + 4

2x = 3

x = 3/2

Оба найденных значения x не равны 2, так что они подходят.

Ответ: x = 7/3, x = 3/2